曼徹斯特大學精算學和數學課程輔導|馬爾可夫鏈理論

馬爾科夫鏈是安德烈-馬爾科夫創建的一種隨機模型，它將一連串事件發生的概率描述為前一事件狀態的函數。該模型應用廣泛，簡單易懂，常用于處理連續數據的行業，如金融業。就連谷歌的網頁排名算法也是一種馬爾科夫鏈，它決定了哪些鏈接會首先顯示在搜索引擎中。通過數學計算，該模型利用我們的觀察結果對未來事件進行粗略預測。

馬爾可夫過程的主要目的是確定從一種狀態進入另一種狀態的概率。馬爾可夫過程的主要優點之一是，隨機變量的未來狀態只取決于當前狀態。隨機變量的非正式定義是其值取決于隨機事件結果的變量。

一、馬可夫鏈的主要特征是什么?

如前所述，馬爾可夫過程是一種無記憶的隨機過程。術語 "無記憶 "是數學中概率分布的一種屬性。它通常指的是與特定事件發生相關的時間不依賴于所經過的時間的情況。換句話說，如果一個模型具有記憶屬性，就意味著該模型 "忘記 "了系統所處的狀態。因此，過程的先前狀態不會影響概率。

這種記憶特性是馬爾可夫過程最重要的特征。與馬爾可夫過程相關的預測取決于當前狀態，與之前和未來狀態無關。

在應用馬爾可夫模型時，這種記憶特性是福也是禍。讓我們設想這樣一種場景：我們希望根據之前輸入的文本預測單詞或句子，這與谷歌在 Gmail 中的做法類似。使用馬爾可夫過程的好處是，生成的新預測結果并不取決于你之前所寫的段落。但缺點是，它不會根據模型之前狀態的上下文來預測文本。這是自然語言處理(NLP)中的一個常見問題，許多模型都面臨這個問題。

二、如何創建馬爾科夫鏈模型

馬爾科夫鏈模型取決于兩個關鍵信息：轉換矩陣和初始狀態向量。

1.轉移矩陣

這個 NxN 矩陣用 "P "表示，代表狀態間轉換的概率分布。矩陣每一行的概率之和等于 1，這意味著它是一個隨機矩陣。請注意，連通的有向圖可以轉化為過渡矩陣。矩陣的每個元素都代表與連接兩個節點的邊相關的概率權重。

2.初始狀態向量

這個 Nx1 向量稱為 "S"，表示從 N 個可能狀態中的每個狀態開始的概率分布。該向量的每個元素都代表從該狀態開始的概率。

三、馬爾科夫鏈的例子是什么?

馬爾科夫鏈在數據科學中的一個常見應用是文本預測。這是 NLP 的一個領域，被谷歌、LinkedIn 和 Instagram 等公司廣泛應用于技術領域。當你撰寫電子郵件時，谷歌會預測并建議自動完成的單詞或短語。當你在 Instagram 或 LinkedIn 上收到信息時，這些應用程序會建議可能的答案。我們要探討的正是馬爾科夫鏈的這些應用。盡管如此，這些大公司在生產中用于這些功能的模型類型卻更為復雜。

假設我們有大量與主題相關的文本。在這個文本語料庫中，每個句子都可以看作是一個詞序列。因此，每個單詞都是自己的狀態，而從一個狀態過渡到另一個狀態的概率則與其相關聯的單詞有關。這樣就可以根據與過渡矩陣相關的概率從一個狀態過渡到另一個狀態。

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