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墨爾本大學管理決策分析課程輔導:線性規劃

發布時間:2023-12-08 09:50

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墨爾本大學管理決策分析課程輔導:線性規劃

一、概述

在數學中,線性規劃是一種在一定約束條件下優化運算的方法。線性規劃的主要目標是最大化或最小化數值。它由線性函數組成,其中的約束條件以線性方程或不等式的形式實現。線性規劃被認為是一種重要的技術,用于尋找資源的最佳利用方式。線性規劃 "一詞由兩個詞組成:線性和規劃。線性 "一詞描述了幾個一階變量之間的關系。編程 "一詞描述了從多個備選方案中選擇最佳解決方案的過程。

線性規劃廣泛應用于數學和許多其他領域,如經濟學、商業、電信和制造業。本文將介紹線性規劃的定義、其組成部分以及解決線性規劃問題的各種方法。

二、什么是線性規劃?

線性規劃(LP)或線性優化可定義為最大化或最小化一個線性函數的問題,該函數應用了線性約束。約束條件可以是等式或不等式。優化問題涉及損益計算。 線性規劃問題是一類重要的優化問題,有助于找到可行性區域并優化解決方案,以獲得函數的最大值或最小值。

換句話說,線性規劃被認為是一種優化技術,可以最大化或最小化數學模型的目標函數,并將一系列要求以線性關系表示。線性規劃問題的主要目標是找到最優解。

線性規劃是一種研究與給定情況相關的各種不等式,并計算在給定條件下獲得的最佳值的方法。在使用線性規劃時,需要做出以下假設:

約束條件的數量必須量化。

約束條件和目標函數之間必須是線性關系。

必須優化線性函數(即目標函數)。

三、線性規劃的組成部分

線性規劃的基本組成部分如下:

決策變量。

約束條件。

數據。

對象函數。

四、線性規劃的特點

以下是線性規劃問題的五個特點:

約束條件 - 必須以數學形式表達與資源相關的約束條件。

目標函數 - 在問題中,目標函數必須以定量形式指定。

線性 - 函數中兩個或多個變量之間的關系必須是線性的。這意味著變量的度數為一。

有限性--輸入和輸出的數量必須有有限和無限之分。如果函數有無限個因子,就不可能得到最優解。

非負值 - 變量的值必須為正或零。不能為負值。

決策變量 - 決策變量將決定結果。它提供了問題的最終解決方案。對于任何問題,第一步都是確定決策變量。

五、線性規劃問題

線性規劃問題(LPP)是一個尋找給定線性函數最優值的問題。最優值可以是最大值,也可以是最小值。這里,給定的線性函數被視為目標函數。目標函數可以包含許多變量,這些變量受條件限制,必須滿足一組稱為線性約束條件的線性不等式。線性規劃問題可用于尋找以下情況的最優解,如生產問題、食品問題、運輸問題、分配問題等。

六、線性規劃的單純形法

單純形法是解決線性規劃問題最常用的方法之一。它是一種獲得最佳可行解的迭代程序。在這種方法中,基本變量的值不斷變換,以獲得目標函數的最大值。簡單線性規劃法的算法如下所示:

步驟 1:定義給定問題。定義給定問題(即),寫出不等式約束和目標函數。

第 2 步: 在每個不等式表達式中加入弱化變量,將給定的不等式轉換為方程。

步驟 3:創建原始簡單矩陣。將目標函數寫在最下面一行。在這里,每個不等式約束都獨立成行。現在,我們可以將問題表示為一個增強矩陣,即原始單純形矩陣。

步驟4:確定最下面一行中最大的負條目,這有助于確定旋轉列。底行中最大的負項決定了目標函數中最大的系數,這將有助于我們盡快增加目標函數的值。

步驟 5:計算商。要計算系數,我們需要用最右邊一列的條目除以第一列的條目,但最下面一行除外。系數最小者決定順序。本步驟中確定的行和本步驟中確定的項將被視為軸項。

步驟 6:旋轉,使該列中的所有其他項為零。

步驟 7:如果最下面一行沒有負數項,則結束該過程。否則,從第 4 步開始。

步驟 8:最后,確定與最終單純形表格相關的解。

七、圖形方法

圖解法用于優化二元線性規劃。如果問題有兩個決策變量,圖解法就是找到最優解的最佳方法。在這種方法中,對一組不等式施加約束。然后在 XY 平面上繪制這些不等式。在 XY 平面上繪制所有不等式后,交叉區域有助于確定可行區域。可行區域不僅提供了最優解,還描述了我們的模型可能取的所有值。

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