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悉尼大學ECMT2160課程輔導——中心極限定理

發布時間:2024-01-26 09:46

中心極限定理依賴于抽樣分布的概念,抽樣分布是從總體中抽取大量樣本后統計量的概率分布。中心極限定理表明,如果從一個總體中抽取足夠大的樣本,即使總體不是正態分布的,樣本的均值也將呈正態分布。
悉尼大學ECMT2160課程輔導——中心極限定理

1.理解抽樣分布

中心極限定理依賴于抽樣分布的概念,它是從總體中抽取的大量樣本的統計量的概率分布。通過想象一個實驗,你可以更好地理解抽樣分布:

假設你從一個總體中隨機抽取一個樣本并計算樣本的統計量,比如均值。現在你再次隨機抽取相同大小的另一個樣本,并再次計算均值。你重復這個過程很多次,最終得到很多均值,每個樣本對應一個均值。樣本均值的分布是抽樣分布的一個例子。

中心極限定理說,只要樣本大小足夠大,均值的抽樣分布將始終呈正態分布。無論總體是正態分布、泊松分布、二項分布還是其他任何分布,均值的抽樣分布都將是正態的。

正態分布是一種對稱的鐘形分布,離分布中心越遠的觀測值越少。

2.中心極限定理公式

幸運的是,你不需要實際反復抽樣總體來了解抽樣分布的形狀。抽樣分布的均值和標準差由總體的參數決定:

抽樣分布的均值等于總體的均值。
中心極限定理

抽樣分布的標準差等于總體的標準差除以樣本大小的平方根。
中心極限定理公式

我們可以用以下公式來描述均值的抽樣分布:
中心極限定理公式3
其中:

X? 是樣本均值的抽樣分布 ~ 表示“遵循分布” ,N 是正態分布, µ 是總體的均值, σ 是總體的標準差, n 是樣本大小。

3.樣本大小和中心極限定理

樣本大小(n)是從總體中抽取的每個樣本的觀察數量。樣本大小對所有樣本都是相同的。樣本大小以兩種方式影響均值的抽樣分布。

(1)樣本大小和正態性樣本

大小越大,抽樣分布越接近正態分布。當樣本大小較小時,均值的抽樣分布有時是非正態的。這是因為只有在樣本大小足夠大時,中心極限定理才成立。

按照慣例,我們認為樣本大小為30時足夠大。

當n < 30時,中心極限定理不適用。抽樣分布將與總體的分布類似。因此,只有在總體正態時,抽樣分布才是正態的。

當n ≥ 30時,中心極限定理適用。抽樣分布將近似于正態分布。

(2)樣本大小和標準差

樣本大小影響抽樣分布的標準差。標準差是分布的變異性或擴散程度的度量(即它有多寬或多窄)。

當n較小時,標準差較大。樣本均值的擴散很大,因為它們不是總體均值的精確估計。

當n較大時,標準差較小。樣本均值的擴散很小,因為它們是總體均值的精確估計。

4.中心極限定理的條件

中心極限定理表明,在以下條件下,均值的抽樣分布將始終遵循正態分布:

樣本大小足夠大。通常,如果樣本大小為n ≥ 30,則滿足此條件。

樣本是獨立且相同分布的隨機變量。通常,如果抽樣是隨機的,則滿足此條件。

總體的分布具有有限方差。中心極限定理不適用于具有無限方差的分布,如柯西分布。大多數分布具有有限方差。

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